Question

【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點P在AB上從A向B運動,連接DP交AC于點Q．

（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時,都有△ADQ≌△ABQ；

（2）當點P在AB上運動到什么位置時,△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）若點P從點A運動到點B,再繼續在BC上運動到點C,在整個運動過程中,當點P運動到什么位置時,△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AP=2；（3）P在B點，C點，或在CP=4（-1）處，△ADQ是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；

（2）過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，若△ADQ的面積是正方形ABCD面積的，則有S△ADQ=ADQE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有，解得AP值；

（3）點P運動時，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性質知，①當點P運動到與點B重合時，QD=QA，此時△ADQ是等腰三角形，②當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③當AD=AQ=4時，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的對角線的性質得到CP的值．

試題解析：（1）在正方形ABCD中，

無論點P運動到AB上何處時，都有

AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，

∴△ADQ≌△ABQ；

（2）△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時，

過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，

∵在邊長為4的正方形ABCD中，

∴S正方形ABCD=16，

∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=，

∴QE=，

∵EQ∥AP，

∴△DEQ∽△DAP，

∴，即，

解得AP=2，

∴AP=2時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，

①當AD=DQ時，則∠DQA=∠DAQ=45°

∴∠ADQ=90°，P為C點，

②當AQ=DQ時，則∠DAQ=∠ADQ=45°，

∴∠AQD=90°，P為B，

③AD=AQ（P在BC上），

∴CQ=AC-AQ=BC-BC=（-1）BC

∵AD∥BC

∴，即可得=1，

∴CP=CQ=（-1）BC=4（-1）

綜上，P在B點，C點，或在CP=4（-1）處，△ADQ是等腰三角形．