Question

【題目】如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連接CD、OD，給出以下四個結論：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CEAB．其中正確結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①∵AB是半圓直徑， ∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②過點E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯誤．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴③錯誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD= ×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴ ，
∴CD2=OCCE= ABCE，
∴2CD2=CEAB．
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
所以答案是：①④．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的內角和外角和等腰三角形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．