Question

【題目】如圖所示，⊙O的半徑為4，點A是⊙O上一點，直線l過點A；P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l于點B，交⊙O于點E，直徑PD延長線交直線l于點F，點A是的中點．

（1）求證：直線l是⊙O的切線；

（2）若PA=6，求PB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PB=．

【解析】

（1）如圖，連接DE，OA，根據垂徑定理證明OA⊥BF即可；

（2）如圖，作OH⊥PA于H，只要證明△AOH∽△PAB，可得，即可解決問題．

（1）如圖，連接DE，OA，

∵PD是直徑，

∴∠DEP=90°，

∵PB⊥FB，

∴∠DEP=∠FBP，

∴DE∥BF，

∵，

∴OA⊥DE，

∴OA⊥BF，

∴直線l是⊙O的切線；

（2）如圖，作OH⊥PA于H，

∵OA=OP，OH⊥PA，

∴AH=PH=3，

∵OA∥PB，

∴∠OAH=∠APB，

∵∠AHO=∠ABP=90°，

∴△AOH∽△PAB，

∴，

∴，

∴PB=．