Question

【題目】有兩個(gè)全等的含30°角的直角三角板重疊在一起，如圖，將△A′B′C′繞AC的中點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)，斜邊A′B′剛好過△ABC的直角頂點(diǎn)C，且與△ABC的斜邊AB交于點(diǎn)N，連接AA′、C′C、AC′．若AC的長(zhǎng)為2，有以下五個(gè)結(jié)論：①AA′=1；②C′C⊥A′B′；③點(diǎn)N是邊AB的中點(diǎn)；④四邊形AA′CC′為矩形；⑤A′N=B′C= ，其中正確的有（ ）
A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵點(diǎn)M是線段AC、線段A′C′的中點(diǎn)，AC=2， ∴AM=MC=A′M=MC′=1，
∵∠MA′C=30°，
∴∠MCA′=∠MA′C=30°，
∴∠A′MC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠A′MA=180°﹣A′MC=180°﹣120°=60°，
∴∠AMA′=∠C′MC=60°，
∴△AA′M是等邊三角形，
∴AA′=AM=1，故①正確；
②∵∠A′CM=30°，∠MCC′=60°，
∴∠ACA′=∠A′CM+∠MCC′=90°，
∴CC′⊥A′C，故②正確；
③∵∠A′CA=∠NAC=30°，∠BCN=∠CBN=60°，
∴AN=NC=NB，故③正確；
④∵△AA′M≌△C′CM，
∴AA′=CC′，∠MAA′=∠C′CM=60°，
∴AA′∥CC′，
∴四邊形AA′CC′是平行四邊形，
∵∠AA′C=∠AA′M+∠MA′C=90°，
四邊形AA′CC′為矩形，故④正確；
⑤AN= AB= ，
∠NAA′=30°，∠AA′N=90°，
∴A′N= AN= ，故⑤錯(cuò)誤；
故選：C．
①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AM=MC=A′M=MC′=1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠MCA′，根據(jù)等邊三角形的判定，可得答案；
②根據(jù)垂線的性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)與已知直線垂直的直線只有一條，可得答案；
③根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案
④根據(jù)平行四邊形的判定，可得四邊形AA′CC′是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可得答案；
⑤根據(jù)勾股定理可得BA的長(zhǎng)，根據(jù)AB與AN的關(guān)系，可得AN的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得答案．