Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連結AC交EF于G，下列結論：①BE=DF；②∠AEF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤△CEF為等腰直角三角形，其中正確的有（填序號）．

Answer 1

【答案】①③⑤
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形， ∴AB=AD，AE=AF，∠B=∠D，=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，故①正確，
∵BC=DC，
∴CE=CF，
∴⑤△CEF為等腰直角三角形，
由于AE=AF，CW=CF，
∴AC垂直平分EF，故③⑤正確，
∵△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=60°，故②錯誤，
設EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，故④錯誤，
所以答案是：①③⑤．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和線段垂直平分線的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．