Question

【題目】已知：如圖，選段AB=4，以AB為直徑作半圓O，點C為弧AB的中點，點P為直徑AB上一點，聯結PC，過點C作CD∥AB，且CD=PC，過點D作DE∥PC，交射線PB于點E，PD與CE相交于點Q．
（1）若點P與點A重合，求BE的長；
（2）設PC=x， =y，當點P在線段AO上時，求y與x的函數關系式及定義域；
（3）當點Q在半圓O上時，求PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，連接OC．

∵ = ，

∴CO⊥AB，△AOC是等腰直角三角形，AC= OC=2 ，

∵四邊形ACDE是菱形，

∴AE=AC=2 ，

∴BE=AB﹣AE=4﹣2

（2）解：如圖2中，

∵PC=x，OC=2，

∴OP= ，OE=x﹣ ，

∵四邊形PCDE是菱形，

∴PD⊥EC，CQ=QE，PQ=QD，

∵ = =y，

∴tan∠PEQ= = ，

∴y= （2≤x≤2 ）

（3）解：如圖3中，

∵點Q在⊙O上，∠CQP=90°，

∴∠CQP所以對的弦CM是直徑，

∵∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE，

∴∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ，

∴∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°，

在Rt△POC中，PC=OC÷cos30°=

【解析】（1）如圖1中，連接OC．只要證明△AOC是等腰直角三角形即可．（2）由PC=x，OC=2，可得OP= ，OE=x﹣ ，由四邊形PCDE是菱形，推出PD⊥EC，CQ=QE，PQ=QD，由 = =y，推出tan∠PEQ= = ，由此即可解決問題．（3）由點Q在⊙O上，∠CQP=90°，推出∠CQP所以對的弦CM是直徑，由∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE，推出∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ，推出∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°，由此即可解決問題．