Question

【題目】已知過原點O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點分別為P、Q，PQ交y軸于點K，拋物線經過P、Q兩點，頂點為N（0，6），且與x軸交于A、B兩點．
（1）求點P的坐標；
（2）求拋物線解析式；
（3）在直線y=nx+m中，當n=0，m≠0時，y=m是平行于x軸的直線，設直線y=m與拋物線相交于點C、D，當該直線與⊙M相切時，求點A、B、C、D圍成的多邊形的面積（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵⊙M與OP相切于點P，

∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．

∵點M（0，4）即OM=4，MP=2，

∴OP=2 ．

∵⊙M與OP相切于點P，⊙M與OQ相切于點Q，

∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．

∴OK⊥PQ，QK=PK．

∴PK= = = ．

∴OK= =3．

∴點P的坐標為（ ，3）

（2）解：如圖2，

設頂點為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax2+6，

∵點P（ ，3）在拋物線y=ax2+6上，

∴3a+6=3．

解得：a=﹣1．

則該拋物線的解析式為y=﹣x2+6

（3）解：當直線y=m與⊙M相切時，

則有 =2．

解得；m1=2，m2=6．

①m=2時，如圖3，

則有OH=2．

當y=2時，解方程﹣x2+6=2得：x=±2，

則點C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．

同理可得：AB=2 ．

則S梯形ABCD= （DC+AB）OH= （4+2 ）×2=4+2 ．

②m=6時，如圖4，

此時點C、點D與點N重合．

S△ABC= ABOC= ×2 ×6=6 ．

綜上所述：點A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2 或6

【解析】（1）由切線的性質可得∠MPO=90°，根據勾股定理可求出PO，然后由面積法可求出PK，然后運用勾股定理可求出OK，就可得到點P的坐標．（2）可設頂點為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax2+6，然后將點P的坐標代入就可求出拋物線的解析式．（3）直線y=m與⊙M相切有兩種可能，只需對這兩種情況分別討論就可求出對應多邊形的面積．
【考點精析】通過靈活運用切線長定理和等腰三角形的性質，掌握從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）即可以解答此題．