Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點，且∠A=∠EDF=60°，有下列結論：①AE=BF；②△DEF是等邊三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中結論正確的個數是（ ）
A.3
B.4
C.1
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ADB= ∠ADC，AB∥CD，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，

同理：∠DBF=60°，

即∠A=∠DBF，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，

∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，

∴∠ADE=∠BDF，

∵在△ADE和△BDF中，

，

∴△ADE≌△BDF（ASA），

∴DE=DF，AE=BF，故①正確；

∵∠EDF=60°，

∴△EDF是等邊三角形，

∴②正確；

∴∠DEF=60°，

∴∠AED+∠BEF=120°，

∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=120°，

∴∠ADE=∠BEF；

故④正確．

∵△ADE≌△BDF，

∴AE=BF，

同理：BE=CF，

但BE不一定等于BF．

故③錯誤．

綜上所述，結論正確的是①②④．

故選：A．

【考點精析】利用等腰三角形的判定和菱形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．