Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)S△ABC=15時(shí)，求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D.該拋物線(xiàn)在直線(xiàn)上方的部分與線(xiàn)段CD組成一個(gè)新函數(shù)的圖象。請(qǐng)結(jié)合圖象回答：若新函數(shù)的最小值大于﹣8，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）；（2）y=x2﹣4x﹣5；（3）當(dāng)﹣1＜k＜0時(shí)新函數(shù)的最小值大于﹣8．

【解析】試題分析：（1）對(duì)于拋物線(xiàn)解析式，令y=0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，根據(jù)A在B的左側(cè)且m大于0，求A的坐標(biāo)即可；

（2）由（1）的結(jié)果表示出B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，表示出C坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AB與OC，由三角形ABC面積為15，利用三角形面積公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出拋物線(xiàn)解析式；

（3）由（2）中m的值確定出C坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)l解析式為y=kx+b，把C坐標(biāo)代入求出b的值，拋物線(xiàn)解析式配方后，經(jīng)判斷得到當(dāng)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值有可能大于-8，令y=-8求出x的值，確定出拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-8），把（3，-8）代入一次函數(shù)解析式求出k的值，由圖象確定出滿(mǎn)足題意k的范圍即可．

試題解析：（1）∵拋物線(xiàn)y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴令y=0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，

解得：x1=﹣1，x2=m，

又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，且m＞0，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）；

（2）由（1）可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），

∵拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣m），

∵m＞0，

∴AB=m+1，OC=m，

∵S△ABC=15，

∴m（m+1）=15，即m2+m﹣30=0，

解得：m=﹣6或m=5，

∵m＞0，

∴m=5；

則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2﹣4x﹣5；

（3）由（2）可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣5），

∵直線(xiàn)l：y=kx+b（k＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，

∴b=﹣5，

∴直線(xiàn)l的解析式為y=kx﹣5（k＜0），

∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴當(dāng)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處或?qū)ΨQ(chēng)軸左側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值為﹣9，不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值有可能大于﹣8，

令y=﹣8，即x2﹣4x﹣5=﹣8，

解得：x1=1（不合題意，舍去），x2=3，

∴拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣8），

當(dāng)直線(xiàn)y=kx﹣5（k＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣8）時(shí)，可求得k=﹣1，

由圖象可知，當(dāng)﹣1＜k＜0時(shí)新函數(shù)的最小值大于﹣8．