Question

【題目】在中，，，點、 分別在射線、上（點 不與點、點重合），且保持.

①若點在線段上（如圖），且，求線段的長；

②若，，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1)、CQ=2.4；(2)、，（0＜x＜8）；（x≥8）

【解析】

試題分析：(1)、根據∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC得出∠BAP=∠CQP，然后得到△CPQ∽△BAP，根據相似比得出CQ的長度；(2)、若點P在線段CB上，根據第一題的相似比得出函數解析式；若點P在線段CB的延長線上，根據同樣的方法證明△QCP∽△PBA，然后根據相似比得出函數解析式.

試題解析：(1)、∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．

(2)、若點P在線段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，

又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函數關系式為，（0＜x＜8）．

若點P在線段CB的延長線上，如圖．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，

∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，

∴，即（x≥8）