Question

【題目】綜合與實踐

（1）（探索發(fā)現(xiàn)）在中. ，，點為直線上一動點（點不與點，重合），過點作交直線于點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

如圖（1），當點在線段上，且時，試猜想：

①與之間的數(shù)量關系：______；

②______．

（2）（拓展探究）

如圖（2），當點在線段上，且時，判斷與之間的數(shù)量關系及的度數(shù)，請說明理由．

（3）（解決問題）

如圖（3），在中，，，，點在射線上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當時，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2），．理由見解析；（3）的長為1或2．

【解析】

（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解決問題；

（2）結論：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解決問題；

（3）分當點D在線段BC上和當點D在BC的延長線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．

解：

（1）如圖1中，設AB交DE于O．

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB=∠C=90°，

∴∠DFB=∠DBF=45°，

∴DF=DB，

∵∠ADE=∠FDB=90°，

∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB

∴△ADF≌△EDB（SAS），

∴AF=BE，∠DAF=∠E，

∵∠AOD=∠EOB，

∴∠ABE=∠ADO=90°

故答案為AF=BE，90°．

（2），.

理由：∵，

∴，.

∵，

∴.∴.

∴

∵，，，

∴.

又∵，

∴.

∴，.

∴，，

∴.

（3）1或2.

解：當點在線段上時，過點作交直線于點，如圖（1）.

∵，∴.

∵，∴.

∵，∴，.

∵，，

∴.

∵，∴.∴.∴.

又，∴，.

當點在線段的延長線上時，過點作交的延長線于點，如圖（2）.

∵，

∴.

∴.

∴.

同理可得.

綜上可得，的長為1或2.