Question

如圖所示，在直角坐標平面內，函數的圖象經過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸垂線，垂足為C，過點B作y軸垂線，垂足為D，連接AD、DC、CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點B的坐標；
（2）求證：DC∥AB；
（3）四邊形ABCD能否為菱形？如果能，請求出四邊形ABCD為菱形時，直線AB的函數解析式；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意AC垂直于x軸，由A的坐標得到C（1，0），設出點D坐標和反比例函數解析式，結合點A（1，4）在函數圖象上，得到反比例函數解析式，從而得到ab=4，再根據△ABD的面積為4，根據底為BD，高為AM，利用三角形的面積公式表示出三角形ABD的面積，由此三角形面積為4列出關系式，將ab=4代入可得出a的值，進而確定出b的值，即可得到點B的坐標；
（2）根據經過兩點直線斜率的公式，結合C、D的坐標，得到直線DC的斜率為-b，同理根據A、B兩點的坐標，得到直線AB的斜率關于a、b的式子，再根據反比例解析式，有ab=4，代入化簡可得k_AB==-b，直線AB與直線DC的斜率相等，根據斜率相等的兩直線平行可得出DC∥AB；
（3）根據條件可知四邊形ABCD的對角線互相垂直，只要四邊形ABCD是平行四邊形，它就是一個菱形，再由（2）知DC∥AB，所以只需DC=AB即可，接下來利用兩點的距離公式，根據CD=AB列出關于a、b的等式，結合ab=4，求出a與b的值，確定出B點坐標為（2，2），此時四邊形ABCD為菱形，最后用經過兩點的直線斜率的公式，得出此時直線AB的斜率，再由B的坐標，即可求出直線AB方程．
解答：（1）解：根據題意A（1，4），得C（1，0），
又∵B（a，b），故設點D（0，b），
∵A（1，4）在反比例函數y=的圖象上，
∴將x=1，y=4代入反比例函數解析式得：4=，即m=4，
∵根據點B（a，b）在反比例函數圖象上，
∴將x=a，y=b代入反比例函數解析式得：ab=4，
∴S_△ABD=BD•AM=×a×（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴a=3，b=，
則點B的坐標為（3， ）；

（2）證明：由C（1，0），設D（0，b），
則直線DC的斜率為k_DC==-b．
同理，根據A（1，4），（a，b），可得直線AB的斜率為k_AB=．
∵點B在反比例函數圖象上，有ab=4，
∴k_AB===-b=k_DC，
則DC∥AB；

（3）四邊形ABCD能為菱形，而四邊形ABCD的對角線互相垂直，
故當ABCD是平行四邊形時，四邊形ABCD就是菱形，
由（2）得DC∥AB，要使ABCD是平行四邊形，
只需DC=AB，即=，
兩邊平方得：1-2a+a²+16-8b+b²=1+b²，即a²-2a-8b+16=0①，
又∵ab=4，即b=②，
將②代入①得：（a-2）（a²+16）=0，
解得：a=2，
將a=2代入②得：b=2，
∴B（2，2），
則點為B（2，2）時，四邊形ABCD為菱形時，
此時直線AB的斜率為k_AB==-2，
由直線的點斜式方程，得AB方程為y-2=-2（x-2），即y=-2x+6，
則所求函數解析式為y=-2x+6．
點評：本題主要考查了直線的斜率和直線的方程，兩點的距離公式，坐標系內三角形面積求法，以及菱形的判定，從圖上獲取有用的信息是解題的關鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點也一定在函數圖象上，在分析問題時，注意將數形結合在一起．