Question

【題目】如圖，拋物線y═﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，5）．有一寬度為1，長度足夠長的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q，交直線AC于點M和點N，交x軸于點E和點F．

（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；

（2）當點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF=，求點Q的坐標；

（3）在矩形的平移過程中，是否存在以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+5，點A的坐標是（﹣5，0）；（2）點Q坐標（﹣4，）；（3）以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．

【解析】

(1)把點B、C的坐標代入函數解析式求出b、c的值，進而求出點A的坐標即可;(2) 作FG⊥AC于G , 設點F坐標（m，0），根據sin∠AMF=，列出方程解答即可; (3)分兩種情況討論①當MN是對角線時；②當MN為邊時；解答即可.

（1）∵拋物線上的點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，5）

∴將其代入y═﹣x2+bx+c，得

，

解得b=﹣，c=5．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+5．

∴點A的坐標是（﹣5，0）．

（2）作FG⊥AC于G，

設點F坐標（m，0），

則AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM=，

∵sin∠AMF=，

∴=，

∴=，

整理得到2m2+19m+44=0，

∴（m+4）（2m+11）=0，

∴m=﹣4或﹣5.5（舍棄），

∴點Q坐標（﹣4，）．

（3）①當MN是對角線時，點M在y軸的右側，設點F（m，0），

∵直線AC解析式為y=x+5，

∴點N（m，m+5），點M（m+1，m+6），

∵QN=PM，

∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，

解得m=﹣3+或﹣3﹣（舍棄），

此時M（﹣2+，3+），

當MN是對角線時，點N在點A的左側時，設點F（m，0）．

∴m+5﹣（﹣m2﹣m+5）=[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]﹣（m+6），

解得m=﹣3﹣或﹣3+（舍棄），

此時M（﹣2﹣，3﹣）

②當MN為邊時，設點Q（m，﹣m2﹣m+5）則點P（m+1，﹣m2﹣m+6），

∵NQ=PM，

∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，

解得m=﹣3．

∴點M坐標（﹣2，3），

綜上所述以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．