Question

【題目】如圖，已知ABCD是菱形，△EFP的頂點E，F，P分別在線段AB，AD，AC上，且EP=FP．

（1）證明：∠EPF+∠BAD=180°；

（2）若∠BAD=120°，證明：AE+AF=AP；

（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AF+AE=PAcos ．

【解析】試題分析：（1）作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N,Rt△PMF≌Rt△PNE，利用公共角求得∠MPF=∠NPE，可得∠EPF和∠BAD互補.

(2)按照（1）可得 Rt△PAM≌Rt△PAN，∠BAD=120°，所以可以得∠PAM=60°，易知PA=2AM，

AE+AF=PA．

（3）利用（1）（2）的方法，Rt△PMF≌Rt△PNE，可以得到AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM∠PAM=，易知AM=PAcos，所以AF+AE=PAcos ．

試題解析：

（1）如圖1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠PAM=∠PAN，

∴PM=PN，

∵PE=PF，

∴Rt△PMF≌Rt△PNE，

∴∠MPF=∠NPE，

∴∠EPF=∠MPF，

∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，

∴∠EPF+∠BAD=180°．

（2）如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，

∴FM=NE，

∵PA=PA，PM=PN，

∴Rt△PAM≌Rt△PAN，

∴AM=AN，

∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，

∵∠BAD=120°，

∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，

∴AE+AF=PA．

（3）結論：AF+AE=PAcos ．

理由：如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，

∴FM=NE，

∵PA=PA，PM=PN，

∴Rt△PAM≌Rt△PAN，

∴AM=AN，

∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，

∵∠BAD=θ，

∴∠PAM=，易知AM=PAcos，

∴AF+AE=PAcos ．/span>