Question

【題目】閱讀以下兩則材料，解決后續問題：

材料一：我們可以將任意三位數記為(其中a,b,c,分別表示該數的百位數字、十位數字和個位數字，且a≠0，顯然=100a+10b+c.

材料二：若一個三位數的三個數字均不為0且三個數字互不相等，則稱之為原始數，比如123就是一個原始數.將原始數的三個數位數字交換順序，可產生出5個新的原始數，比如由123可以產生出132、213、231、312、321這5個新原始數.將這6個數相加，得到的和1332稱為由原始數123生成的終止數.

問題：（1）求原始數247生成的終止數；

（2）試說明所有的原始數生成的終止數都能被222整除；

（3）若一個原始數生成的終止數為，求滿足條件的所有原始數.

Answer 1

【答案】（1）2886；（2）證明見解析；（3）124、142、214、241、412、421.

【解析】

（1）先求出247產生的原始數，再求出6個原始數的和即可；（2）設原始數為=100a+10b+c，可用a、b、c表示出產生的原始數，進而求出終止數，即可得結論；（3）根據各原始數的和與終止數相等，可得出原始數各數位上數字的和，根據三個數字均不為0且三個數字互不相等，寫出滿足條件的所有原式數即可.

（1）∵由247設原始數為=100a+10b+c，274、427、472、724、742五個原始數，

∴原始數247生成的終止數為247+274+427+472+724+742=2886.

（2）設原始數為=100a+10b+c，

可以產生出100a+10c+b、100b+10a+c、100b+10c+b、100c+10a+b、100c+10b+a五個原始數，

∴它們生成的終止數為：

100a+10b+c+100a+10c+b+100b+10a+c+100b+10c+b+100c+10a+b+100c+10b+a=222(a+b+c)，

∴所有的原始數生成的終止數都能被222整除.

（3）由（2）得原始數生成的終止數為222（a+b+c），

∵一個原始數生成的終止數為1554，

∴222（a+b+c）=1554，

∴a+b+c=7，

∵三個數字均不為0且三個數字互不相等，

∴滿足條件的所有原始數為124、142、214、241、412、421.