Question

【題目】如圖1，矩形OABC擺放在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點C在y軸上，OA＝3，OC＝2，過點A的直線交矩形OABC的邊BC于點P，且點P不與點B、C重合，過點P作∠CPD＝∠APB，PD交x軸于點D，交y軸于點E．

(1)若△APD為等腰直角三角形．

①求直線AP的函數解析式；

②在x軸上另有一點G的坐標為(2，0)，請在直線AP和y軸上分別找一點M、N，使△GMN的周長最小，并求出此時點N的坐標和△GMN周長的最小值．

(2)如圖2，過點E作EF∥AP交x軸于點F，若以A、P、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求直線PE的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x+3，②N（0， ）,；（2） y＝2x﹣2.

【解析】

（1）①由矩形的性質和等腰直角三角形的性質可求得∠BAP＝∠BPA＝45°，從而可得BP＝AB＝2，進而得到點P的坐標，再根據A、P兩點的坐標從而可求AP的函數解析式；

②作G點關于y軸對稱點G'（﹣2，0），作點G關于直線AP對稱點G'（3，1），連接G'G'交y軸于N，交直線AP 于M，此時△GMN周長的最小，根據點G'、G'兩點的坐標，求出其解析式，然后再根據一次函數的性質即可求解；

（2）根據矩形的性質以及已知條件求得PD=PA，進而求得DM=AM，根據平行四邊形的性質得出PD=DE，然后通過得出△PDM≌△EDO得出點E和點P的坐標，即可求得．

解：（1）①∵矩形OABC，OA＝3，OC＝2，

∴A（3，0），C（0，2），B（3，2），

AO∥BC，AO＝BC＝3，∠B＝90°，CO＝AB＝2，

∵△APD為等腰直角三角形，

∴∠PAD＝45°，

∵AO∥BC，

∴∠BPA＝∠PAD＝45°，

∵∠B＝90°，

∴∠BAP＝∠BPA＝45°，

∴BP＝AB＝2，

∴P（1，2），

設直線AP解析式y＝kx+b，

∵過點A，點P，

∴

∴ ，

∴直線AP解析式y＝﹣x+3;

②如圖所示：

作G點關于y軸對稱點G'（﹣2，0），作點G關于直線AP對稱點G'（3，1）

連接G'G'交y軸于N，交直線AP 于M，此時△GMN周長的最小，

∵G'（﹣2，0），G'（3，1）

∴直線G'G'解析式y＝x+

當x＝0時，y＝，

∴N（0，）,

∵G'G'＝,

∴△GMN周長的最小值為;

（2）如圖：作PM⊥AD于M，

∵BC∥OA

∴∠CPD＝∠PDA且∠CPD＝∠APB，

∴PD＝PA，且PM⊥AD，

∴DM＝AM，

∵四邊形PAEF是平行四邊形

∴PD＝DE

又∵∠PMD＝∠DOE，∠ODE＝∠PDM

∴△PMD≌△EOD，

∴OD＝DM，OE＝PM，

∴OD＝DM＝MA，

∵PM＝2，OA＝3，

∴OE＝2，OM＝2

∴E（0，﹣2），P（2，2）

設直線PE的解析式y＝mx+n

∴

∴直線PE解析式y＝2x﹣2.