Question

【題目】已知：如圖，點A，B，C三點在⊙O上，AE平分∠BAC，交⊙O于點E，交BC于點D，過點E作直線l∥BC，連結BE．
（1）求證：直線l是⊙O的切線；
（2）如果DE=a，AE=b，寫出求BE的長的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OE、OB、OC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∴ ，

∴∠BOE=∠COE，

∵OB=OC，

∴OE⊥BC，

∵l∥BC，

∴OE⊥l，

∴直線l是⊙O的切線；

（2）∵∠BAE=∠CAE，∠CAE=∠CBE，

∴∠BAE=∠DBE，

又∵∠AEB=∠BED，

∴△ABE∽△BDE，

∴ = ，

∴BE2=AEDE=ab．

【解析】（1）作輔助線，連接半徑，由角平分線得：∠BAE=∠CAE，圓周角相等，則弧相等，再由垂徑定理證明OE⊥BC，所以OE⊥l，直線l與⊙O相切；（2）根據∠BAE=∠CAE、∠CAE=∠CBE結合公共角證△ABE∽△BDE可得 = ，從而得出答案．