Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，點P是CD的中點，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點，作BM⊥AE于點M，作KN⊥AE于點N，連結MO、NO，以下四個結論：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN= ；③BP=4PK；④PMPA=3PD2 ， 其中正確的是（ ）

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：作PI∥CE交DE于I，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
則 ，又點P是CD的中點，
∴ = ，
∵AD=CE，
∴ = ，
∴BP=3PK，
故③錯誤；
作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵點O是線段BK的中點，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，故①正確；
由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，
設BC=2，則CP=1，由勾股定理得，BP= ，
則AP= ，
根據三角形面積公式，BM= ，
∵點O是線段BK的中點，
∴PB=3PO，
∴OG= BM= ，
MG= MP= ，
tan∠OMN= = ，故②正確；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB2=PMPA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB= PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PMPA=3PD2 ， 故④正確．
故選B．

根據菱形的性質得到AD∥BC，根據平行線的性質得到對應角相等，根據全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性質得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根據點P是CD的中點證明CE=2PI，BE=4PI，根據相似三角形的性質得到 = ，得到BP=3PK，故③錯誤；作OG⊥AE于G，根據平行線等分線段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，證明△MON是等腰三角形，故①正確；根據直角三角形的性質和銳角三角函數求出∠OMN= ，故②正確；然后根據射影定理和三角函數即可得到PMPA=3PD2 ， 故④正確．