Question

【題目】已知橢圓C： 的焦距為2，點Q（ ，0）在直線l：x=3上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若O為坐標原點，P為直線l上一動點，過點P作直線與橢圓相切點于點A，求△POA面積S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：橢圓C： 的焦距為2，則2c=2，c=1，又點Q（ ，0）在直線l：x=3上，

∴a2=3，∴b2=a2﹣c2=2．

∴橢圓C的標準方程是

（2）

解：由題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+m，設P（3，y0），A（x1，y1）．

由 ，整理得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由△=24（2+3k2﹣m2）=0，則2+3k2=m2，

x1=﹣ ，則y1= ，y0=kx+m．

由2+3k2=m2，則m=± ．

當m= ．時，△POA面積S△OPA= 丨k+ 丨，又 ，k+ ＞0，

∴S△OPA= （k+ ）．

令f（k）= （k+ ），k∈R，則f′（k）= （1+ ）= （ ），

由f′（k）=0，得k=﹣ ，f（k）在（﹣∞，﹣ ）上單調遞減，在（﹣ ，+∞）單調遞增，

∴f（k）min=f（﹣ ）= ．即當l的斜率為﹣ 時，△OPA面積S的最小值為 ．

同理當m=﹣ ．時，S△OPA= （﹣k+ ）．當l的斜率為 時，△OPA面積S的最小值為 ．

綜上，△OPA面積S的最小值為

【解析】（1）由題意可知：c=1，由Q（ ，0）在直線l：x=3上．即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，△=0，即可求得A點坐標，根據三角形的面積公式，利用導數與函數單調性的關系，即可求得△POA面積S的最小值．