Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A在第二象限且縱坐標為1，點B在x軸的負半軸上，AB=AO，∠ABO=30°，直線MN經過原點O，點A關于直線MN的對稱點A1在x軸的正半軸上，點B關于直線MN的對稱點為B1 ．

（1）求∠AOM的度數．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三邊比為1： ：2，求線段AB1的長和B1的縱坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A與點A1關于直線MN對稱，

∴∠AOM=∠A1OM，

∵AB=AO，∠ABO=30°，

∴∠AOB=30°，

∵∠AOB+∠AOM+∠A1OM=180°，

∴∠AOM=75°

（2）

解：過點A作AC⊥x軸于點C，過點B1作B1D⊥x軸于點D，如圖所示．

∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，AC=1，

∴AO=2AC=2，OC= AC= ，

∵AB=AO，

∴BO=2OC=2 ，

∴點A（﹣ ，1），點B（﹣2 ，0）．

∵點A與點A1關于直線MN對稱，

∴OA1=OA=2，

∴點A1（2，0），

∴A1B=2﹣（﹣2 ）=2+2 ，

∵點A關于直線MN的對稱點A1，點B關于直線MN的對稱點為B1，

∴AB1=A1B=2+2 ，OB1=OB=2 ．

在Rt△OB1D中，∠B1OD=∠AOB=30°，

∴B1D= OB1= ．

故線段AB1的長為2+2 ，B1的縱坐標為 ．

【解析】（1）由點A與點A1關于直線MN對稱，可得出∠AOM=∠A1OM，再由等腰三角形的性質可得出∠AOB=30°，通過角的計算即可得出結論；（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過點B1作B1D⊥x軸于點D，通過解直角三角形以及等腰三角形的性質可得出點A、B點的坐標，再根據對稱的性質即可得出點A1的坐標以及AB1=A1B，在Rt△OB1D中，利用特殊角的三角函數值即可得出B1D的長度，此題得解．
【考點精析】本題主要考查了三角形三邊關系和比例的性質的相關知識點，需要掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊；基本性質；更比性質（交換比例的內項或外項）；反比性質（交換比的前項、后項）；等比性質才能正確解答此題．