Question

【題目】如圖，在△ABC中，P，Q分別是BC，AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R，S，若AQ=PQ，PR=PS，則下列四個結論：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中結論正確的序號為（ ）

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2 ， AS2=AP2﹣PS2 ，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正確；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正確；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC，
∵∠QAP=∠BAP，
∴BP=CP，
∵QP∥AB，
∴∠QPC=∠B=60°=∠C，
∴PQ=CQ，
∴△PQC是等邊三角形，
∴PQ=CP=BP，∠SQP=60°=∠B，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠PSQ=90°，
在△BRP和△QSP中，
，
∴△BRP≌△QSP，∴④正確；
連接RS，

∵PR=PS，
∴點P在RS的垂直平分線上，
∵AS=AR，
∴點A在RS的垂直平分線上，
∴AP垂直平分RS，∴①正確．
故答案為：①②③④．
根據角平分線性質即可推出②，根據勾股定理即可推出AR=AS，根據等腰三角形性質推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據平行線判定推出QP∥AB即可；求出PQ=CP=BP，根據AAS推出△BRP≌△QSP即可，然后根據線段垂直平分線的判定即可得到AP垂直平分RS．