Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：

（1）AM⊥DM；
（2）M為BC的中點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM=180°，

∴∠MAD+∠ADM=90°，

∴∠AMD=90°，

即AM⊥DM

（2）解：作NM⊥AD交AD于N，

∵∠B=90°，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM=MN，MN=CM，

∴BM=CM，

即M為BC的中點．

【解析】（1）根據平行線的性質得到∠BAD+∠ADC=180°，根據角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM=90°，根據垂直的定義得到答案；（2）作NM⊥AD，根據角平分線的性質得到BM=MN，MN=CM，等量代換得到答案．
【考點精析】利用角平分線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．