Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數是　 　．

（2）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．

①求BC的長；

②在直線MN上是否存在點P，使由P，B，C構成的△PBC的周長值最小？若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）①BC=6cm；②當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

【解析】試題分析：1）根據等腰三角的性質，三角形的內角和定理，可得∠A的度數，根據直角三角形兩銳角的關系，可得答案；

（2）①根據垂直平分線的性質，可得AM與MB的關系，再根據三角形的周長，可得答案；

②根據兩點之間線段最短，可得P點與M點的關系，可得PB+PC與AC的關系．

試題解析：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠A=180°-∠B-∠C=40°，

∵∠ANM=90°，∴∠NMA=90°-∠A= 50°，

故答案為：50°；

（2）如圖：

①∵MN垂直平分AB．

∴MB=MA，

又∵△MBC的周長是14cm，

∴AC+BC=14cm，

∴BC=6cm；

②當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，最小值是8cm．