Question

【題目】如圖1， 的角平分線BD、CE相交于點P.

（1）如果，求∠BPC的度數；

（2）如圖2，作外角的角平分線交于點Q，試探索、之間的數量關系。

（3）如圖3，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求的度數

Answer 1

【答案】見解析

【解析】整體分析：

(1)用角平分線的定義和三角形的內角和定理求解；(2)用三角形的一個外等于和它不相鄰的兩個內角的和，角平分線的定義和三角形的內角和定理求解；(3)用(2)的方法確定∠A與∠E的數量關系，判斷∠EBQ=90°，分四種情況討論求解.

解：(1)因為△ABC的角平分線BD、CE相交于點P，

所以∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

因為∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，

所以∠PBC∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= ×100°=50°，

所以∠BPC=180°-(∠PBC∠PCB)=180°-50°=130°.

(2)因為△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，

所以∠QBC= (∠A+∠ACB)，∠PCB= (∠A+∠ABC)，

所以∠QBC∠QCB

= (∠A+∠A+∠ABC+∠ACB)

= (∠A+180°)= ∠A+90°.

又因為∠QBC∠QCB=180°-∠Q，

所以∠A+90°=180°-∠Q，

所以∠Q=90°-∠A.

(3)如圖，連結BC并延長到點F．

∵CQ為△ABC的外角的角平分線，

∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF=2∠ECF，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，

∵∠ECF=∠EBC+∠E，

∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，

又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A；

∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC= (∠ABC+∠A+∠ACB)=90°．

如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況：

①∠EBQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；

②∠EBQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；

③∠Q=2∠E，則90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；

④∠E=2∠Q，則∠A=2(90°-∠A)，解得∠A=120°．

綜上所述，∠A的度數是90°或60°或120°．