Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊AD，CD上，

（1）若AB＝6，AE＝CF，點E為AD的中點，連接AE，BF．

①如圖1，求證：BE＝BF＝3；

②如圖2，連接AC，分別交AE，BF于M，M，連接DM，DN，求四邊形BMDN的面積．

（2）如圖3，過點D作DH⊥BE，垂足為H，連接CH，若∠DCH＝22.5°，則的值為　 　（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②12；（2）.

【解析】

（1）①先求出AE＝3，進而求出BE，再判斷出△BAE≌△BCF，即可得出結論；

②先求出BD＝6，再判斷出△AEM∽△CMB，進而求出AM＝2，再判斷出四邊形BMDN是菱形，即可得出結論；

（2）先判斷出∠DBH＝22.5°，再構造等腰直角三角形，設出DH，進而得出HG，BG，即可得出BH，結論得證．

解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，

∵點E是中點，

∴AE＝AD＝3，

在Rt△ABE中，根據勾股定理得，BE＝＝3，

在△BAE和△BCF中，

∴△BAE≌△BCF（SAS），

∴BE＝BF，

∴BE＝BF＝3；

②如圖2，連接BD，

在Rt△ABC中，AC＝AB＝6，

∴BD＝6，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴△AEM∽△CMB，

∴，

∴，

∴AM＝AC＝2，

同理：CN＝2，

∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2，

由①知，△ABE≌△CBF，

∴∠ABE＝∠CBF，

∵AB＝BC，∠BAM＝∠BCN＝45°，

∴△ABM≌△CBN，

∴BM＝BN，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴AB＝AD，∠BAM＝∠DAM＝45°，

∵AM＝AM，

∴△BAM≌△DAM，

∴BM＝DM，

同理：BN＝DN，

∴BM＝DM＝DN＝BN，

∴四邊形BMDN是菱形，

∴S四邊形BMDN＝BD×MN＝×6×2＝12；

（2）如圖3，設DH＝a，

連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∵DH⊥BH，

∴∠BHD＝90°，

∴點B，C，D，H四點共圓，

∴∠DBH＝∠DCH＝22.5°，

在BH上取一點G，使BG＝DG，

∴∠DGH＝2∠DBH＝45°，

∴∠HDG＝45°＝∠HGD，

∴HG＝HD＝a，

在Rt△DHG中，DG＝HD＝a，

∴BG＝a，

∴BH＝BG+HG＝A+A＝（+1）a，

∴．

故答案為：．