Question

【題目】如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB．

（1）求線段CD的長；
（2）如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；
（3）如果點F在邊CD上（不與點C、D重合），設AE=x，DF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作DH⊥AB于H，如圖1，

易得四邊形BCDH為矩形，

∴DH=BC=12，CD=BH，

在Rt△ADH中，AH= = =9，

∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，

∴CD=7

（2）

解：當EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，

∵∠AGE=∠DAB，

∴∠GAE=∠DAB，

∴G點與D點重合，即ED=EA，

作EM⊥AD于M，如圖1

，

則AM= AD= ，

∵∠MAE=∠HAD，

∴Rt△AME∽Rt△AHD，

∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ；

當GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，

∵∠AGE=∠DAB，

而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，

∴∠GAE=∠ADG，

∴∠AEG=∠ADG，

∴AE=AD=15，

綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為 或15

（3）

解：作DH⊥AB于H，如圖2

，

則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，

在Rt△ADE中，DE= = ，

∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，

∴△EAG∽△EDA，

∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ，

∴EG= ，

∴DG=DE﹣EG= ﹣ ，

∵DF∥AE，

∴△DGF∽△EGA，

∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（ ﹣ ）： ，

∴y= （9＜x＜ ）．

【解析】（1）作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理計算出AH，從而得到BH和CD的長；（2）分類討論：當EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，則判斷G點與D點重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，則AM= AD= ，通過證明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可計算出此時的AE長；當GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，可證明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE= ，再證明△EAG∽△EDA，則利用相似比可表示出EG= ，則可表示出DG，然后證明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的關系． 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質等等腰三角形的性質；常把直角梯形化為一個直角三角形和一個矩形解決問題；會利用勾股定理和相似比計算線段的長；會運用分類討論的思想解決數學問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直角梯形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一腰垂直于底的梯形是直角梯形．