Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax+bx-3（a≠0）與x軸交于點
A（-2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個也停止運動，當△PBQ存在時，求運動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？
（3）當△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點M，使 ： =5：2，求M點坐標。

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（-2，0）、B（4，0）分別代入y=ax+bx-3（a≠0），得

解得 ，

所以該拋物線的解析式為：y= x- x-3.

（2）

解：設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．

∴PB=6-3t．

由題意得，點C的坐標為（0，-3）．

在Rt△BOC中，BC= =5

如下圖，過點Q作QH⊥AB于點H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴ ，即 ，

∴HQ= t.

∴ = PB HQ= （6-3t） t=- t+ t=- （t-1）+ .

當△PBQ存在時，0＜t＜2

∴當t=1時， =

答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是 .

（3）

解：設直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，-3）代入，得

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x-3.

∵點M在拋物線上.

∴設點M的坐標為（m， m- m-3）

如下圖，過點M作ME∥y軸，交BC于點E．則點E的坐標為（m， m-3）.

∴EM= m-3-（ m- m-3）=- m+ m.

當△PBQ的面積最大時，∵S△CBM：S△PBQ=5：2，S△PBQ= .

∴S△CBM= .

S△CBM=S△CEM+S△BEM= EMm+ EM（4-m）

= ×4EM

=2×（- m+ m）

=- m+3m.

即：- m+3m= .

解得m1=1，m2=3．

∴M1（1，- ），M2（3，- ）.

【解析】（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；（2）設運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數關系式S△PBQ=- （t-1）+ 。利用二次函數的圖象性質進行解答；（3）利用待定系數法求得直線BC的解析式為y= x-3，由二次函數圖象上點的坐標特征可設點K的坐標為（m， m- -3）. 如圖，過點M作ME∥y軸，交BC于點E．結合已知條件和（2）中的結果求得S△CBK= .則根據圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK= EMm+ EK（4-m），把相關線段的長度代入推知：- m+3m= .易求得M1（1，- ），M2（3，- ）.
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．