Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點P為△ABC內一點.

（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應點分別為點D、

A、E，連接CE.

①依題意，請在圖2中補全圖形；

②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的長

（2）如圖3，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當AC=3，

AB=6時，根據此圖求PA+PB+PC的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）①連接PB、PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B、C、P的對應點分別為點D、A、E，連接CE，據此畫圖即可；②連接BD、CD，構造矩形ACBD和Rt△CDE，根據矩形的對角線相等以及勾股定理進行計算，即可求得CE的長；

（2）以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接BN，根據△PAM、△ABN都是等邊三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根據當C、P、M、N四點共射線，PA+PB+PC的值最小，此時△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題.

解：（1）①補全圖形如圖所示；

②如圖，連接BD、CD

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC=AD，

∵∠ACB=90°，

∴四邊形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，

∵BP=3，∴DE=BP=3，

∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，

∴在Rt△DCE中， ；

（2）證明：如圖所示，

當C、P、M、N四點共線時，PA+PB+PC最小

由旋轉可得，△AMN≌△APB，

∴PB=MN

易得△APM、△ABN都是等邊三角形，

∴PA=PM

∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，

∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°

∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，

∴∠CBN=90°

在Rt△ABC中，易得

∴在Rt△BCN中，

“點睛”本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉和平移的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形和全等三角形，依據圖形的性質進行計算求解.