Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點，過點C作AB的平行線交AE的延長線于點F，連接BF．
（1）求證：CF=AD；
（2）若CA=CB，∠ACB=90°，試判斷四邊形CDBF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CF∥AB，

∴∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，

∵E為CD的中點，

∴CE=DE，

在△ECF和△EDA中，

，

∴△ECF≌△EDA（AAS），

∴CF=AD

（2）解：四邊形CDBF為正方形，理由如下：

∵CD是AB邊上的中線，

∴AD=BD，

∵CF=AD，

∴CF=BD；

∵CF=BD，CF∥BD，

∴四邊形CDBF為平行四邊形，

∵CA=CB，CD為AB邊上的中線，

∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，

∴四邊形CDBF為矩形，

∵等腰直角△ABC中，CD為斜邊上的中線，

∴CD= AB=BD，

∴四邊形CDBF為正方形

【解析】（1）由平行線的性質得出內錯角相等∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，再根據AAS證明△ECF≌△EDA，得出對應邊相等即可；（2）先證明四邊形CDBF為平行四邊形，再由∠BDC=90°得出四邊形CDBF為矩形，然后證出CD=BD，即可得出結論．