Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．
（1）如圖①，當EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求證：EG=AG+BG；
（2）如圖②，當EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖①，作∠GAH=∠EAB交GE于點H．

∴∠GAB=∠HAE．

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH．

在△ABG和△AEH中，

，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等邊三角形．

∴AG=HG．

∴EG=AG+BG；

（2）EG= AG﹣BG．

如圖②，作∠GAH=∠EAB交GE于點H．

∴∠GAB=∠HAE．

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．

∴∠ABG=∠AEH．

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形．

∴ AG=HG．

∴EG= AG﹣BG．

【解析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于點H，易證得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可證得△AGH是等邊三角形，繼而證得結論；（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于點H，易證得△ABG≌△AEH，繼而可得△AGH是等腰直角三角形，則可求得答案．
【考點精析】利用平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．