Question

【題目】在正方形ABCD和正方形DEFG中，頂點B、D、F在同一直線上，H是BF的中點．
（1）如圖1，若AB=1，DG=2，求BH的長；

（2）如圖2，連接AH，GH．

小宇觀察圖2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：延長AH交EF于點M，連接AG，GM，要證明結論成立只需證△GAM是等腰直角三角形；
想法2：連接AC，GE分別交BF于點M，N，要證明結論成立只需證△AMH≌△HNG．
…
請你參考上面的想法，幫助小宇證明AH=GH，AH⊥GH．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，

∴△ABD，△GDF為等腰直角三角形．

∵AB=1，DG=2，

∴由勾股定理得BD= ，DF=2 ．

∵B、D、F共線，

∴BF=3 ．

∵H是BF的中點，

∴BH= BF=

（2）

解：證法一：

如圖1，延長AH交EF于點M，連接AG，GM，

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線，

∴AB∥EF．

∴∠ABH=∠MFH．

又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，

∴△ABH≌△MFH．

∴AH=MH，AB=MF．

∵AB=AD，

∴AD=MF．

∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，

∴△ADG≌△MFG．

∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．

又∵∠DGM+∠MGF=90°，

∴∠AGD+∠DGM=90°．

∴△AGM為等腰直角三角形．

∵AH=MH，

∴AH=GH，AH⊥GH．

證法二：

如圖2，連接AC，GE分別交BF于點M，N，

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線，

∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM= BD，DN= DF．

∴∠AMD=∠GNH=90°，MN= BF．

∵H是BF的中點，

∴BH= BF．

∴BH=MN．

∴BH﹣MH=MN﹣MH．

∴BM=HN．

∵AM=BM=DM，

∴AM=HN=DM．

∴MD+DH=NH+DH．

∴MH=DN．

∵DN=GN，

∴MH=GN．

∴△AMH≌△HNG．

∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．

∵∠HGN+∠GHN=90°，

∴∠AHM+∠GHN=90°．

∴∠AHG=90°．

∴AH⊥GH．

∴AH=GH，AH⊥GH．

【解析】（1）先根據勾股定理得出AB，DG，進而求出BF，即可得出結論；（2）證法一、先判斷△ABH≌△MFH，進而判斷出△ADG≌△MFG．即可判斷出△AGM為等腰直角三角形，即可得出結論；證法二、先判斷出MN= BF．進而判斷出△AMH≌△HNG，即可判斷出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．