Question

已知二次函數y=

1

2

x²+bx+c的圖象經過點A（-3，6），并與x軸交于點B（-1，0）和點C，頂點為P．
（1）求這個二次函數的解析式，并在下面的坐標系中畫出該二次函數的圖象；
（2）設D為線段OC上的一點，滿足∠DPC=∠BAC，求點D的坐標；
（3）在x軸上是否存在一點M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出b，c的值后可求出該函數的解析式；
（2）證明△DPC∽△BAC，利用線段比求出各相關線段的值后易求點C的坐標；
（3）過M作MH⊥AC，MG⊥PC，推出△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內切圓圓心，根據直線與圓的關系進行解答．

解答：解：（1）∵二次函數y=

1

2

x²+bx+c的圖象過點A（-3，6），B（-1，0），
得

9 2 -3b+c=6 1 2 -b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

．
∴這個二次函數的解析式為：
y=

1

2

x²-x-

3

2

．（4分）
由解析式可求P（1，-2），C（3，0），（5分）
畫出二次函數的圖象；（6分）

（2）解法一：
易證：∠ACB=∠PCD=45°，
又已知：∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，（8分）
∴

DC

BC

=

PC

AC

，
易求AC=6

2

，PC=2

2

，BC=4，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，
∴D（

5

3

，0）．（10分）
解法二：過A作AE⊥x軸，垂足為E，
設拋物線的對稱軸交x軸于F，
亦可證△AEB∽△PFD，（8分）
∴

PE

PF

=

EB

FD

，
易求：AE=6，EB=2，PF=2，
∴FD=

2

3

，
∴OD=

2

3

+1=

5

3

，
∴D（

5

3

，0）；（10分）

（3）存在．
①過M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分別為H、G，設AC交y軸于S，CP的延長線交y軸于T，
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內切圓圓心，
∴MG=MH=OM，（11分）
又∵MC=

2

OM且OM+MC=OC，
∴

2

OM+OM=3，
得OM=3

2

-3，
∴M（3

2

-3，0）（12分）
②在x軸的負半軸上，存在一點M′，
同理OM′+OC=M′C，OM′+OC=

2

OM′
得OM′=3

2

+3
∴M′(-3

2

-3，0)（14分）
即在x軸上存在滿足條件的兩個點．

點評：本題綜合考查的是二次函數的有關知識以及直線與圓的關系，難度較大．