Question

【題目】如圖1，在中，為銳角，點為射線上一點，連接，以為且在的右側作正方形．

（1）如果，當點在線段BC上時(與點不重合)，①如圖2，線段的數量關系為 ，線段所在直線的位置關系為 ；

②當點在線段的延長線上時，如,3，①中的結論是否仍然成立，并說明理由；

（2）如圖4，如果是銳角，點在線段上，當滿足什么條件時，(點不重合)，請直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）①；②①中的結論仍成立．理由見解析；（2）

【解析】

（1）①證明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD與CF相等且垂直；
②，①的結論仍成立，同理證明△DAB≌△FAC，可得結論：垂直且相等；
（2）當∠ACB滿足45°時，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，證明△QAD≌△CAF，即可得出結論．

（1）①

②當點在的延長線上時，

①中的結論仍成立．

理由如下:

由正方形得．

,

，

即，

又，

，

,

，

即

②當點D在BC的延長線上時，（1）的結論仍成立，理由是：
如圖3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠DAF+∠CA D=∠BAC+∠CA D
即∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；

（2）當∠BCA=45°時，CF⊥BD，理由是：
如圖4，過點A作AQ⊥AC，交BC于點Q，

∵∠BCA=45°，
∴∠AQC=45°，
∴∠AQC=∠BCA=45°，
∴AQ= AC，
∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，
∴∠QAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠QAD=∠CAF，
∴△QAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AQD=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．