Question

【題目】如圖，銳角△ABC的兩條高BE、CD相交于點O，且OB＝OC，∠A＝60°.

(1)求證：△ABC是等邊三角形；

(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 點O在∠BAC的平分線上，理由見解析.

【解析】

(1)由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB.再證∠BEC＝∠CDB＝90°由(AAS)可證△BCE≌△CBD，則∠DBC＝∠ECB，所以，含有60°的等腰三角形是等邊三角形；（2）由（1△BCE≌△CBD，得，EB＝CD.又OB＝OC，所以OE＝OD，再由角平分線性質定理可證得.

(1)證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.

又∵BC＝BC，∴△BCE≌△CBD(AAS)，

∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC.

又∵∠A＝60°，

∴△ABC是等邊三角形．

(2)解：點O在∠BAC的平分線上．

理由如下：連接AO.由(1)可知△BCE≌△CBD，∴EB＝CD.

∵OB＝OC，∴OE＝OD.

又∵OE⊥AC，OD⊥AB，

∴點O在∠BAC的平分線上．