Question

【題目】如圖，數軸上點、表示的有理數分別為－10、5，點是射線上的一個動點（不與點、重合），點是線段靠近點的三等分點，點是線段靠近點的三等分點.

（1）若點表示的有理數是0，那么的長為______；若點表示的有理數是1，那么的長為______.

（2）點在射線上運動（不與點、重合）的過程中，的長是否發生改變？若不改變，請求出的長；若改變，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）10，10；（2）的長不會發生改變，且.

【解析】

（1）由點P表示的有理數為0可得出AP、BP的長度，根據三等分點的定義可得出MP、NP的長度，再由MN＝MP+NP即可求出MN的長度；當點P表示的有理數為1時，利用同樣的方法求解即可；

（2）設點P表示的有理數是a（a＞﹣10且a≠5），分﹣10＜a＜5及a＞5兩種情況考慮，由點P表示的有理數可得出AP、BP的長度（用含字母a的代數式表示），根據三等分點的定義可得出MP、NP的長度（用含字母a的代數式表示），再由MN＝MP+NP（或MN＝MP﹣NP），即可求出MN的長，進而可作出判斷．

解：（1）若點P表示的有理數是0，則AP＝10，BP＝5．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，

∴MN＝MP+NP＝+=10；

若點P表示的有理數是1，則AP＝11，BP＝4．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點，

∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，

∴MN＝MP+NP＝+=10．

故答案為：10，10；

（2）MN的長不會發生改變，理由如下：

設點P表示的有理數是a（a＞﹣10且a≠5）．

當﹣10＜a＜5時，如圖1，AP＝a+10，BP＝5﹣a．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(5﹣a)，

∴MN＝MP+NP＝(a+10)+(5﹣a)=10；

當a＞5時（如圖2），AP＝a+10，BP＝a﹣5．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．

∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝( a﹣5)，

∴MN＝MP﹣NP＝(a+10)－( a﹣5)=10．

綜上所述：點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長不會發生變化，且為定值10．