Question

【題目】已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，點D是弧AC上的一點，連接AD、BD，AC交BD于點F，DE⊥AB于點E，交AC于點P，∠ABD=∠CBD=∠CAD．

（1）求證：PA=PD；

（2）判斷AP與PF是否相等，并說明理由；

（3）當點C為半圓弧的中點，小李通過操作發現BF=2AD，請問小李的發現是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請寫出BF與AD正確的關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）相等，理由見解析；（3）小李的發現是正確的，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連接CD，由AB是半⊙O的直徑，DE⊥AB于E，得到∠DBA+∠DAB=∠ADE+∠DAE=90°，于是得到∠DBA=∠ADE，根據圓周角定理得到∠DCA=∠DBA=∠DAC，即可求出結論；

（2）根據圓周角定理求出∠DAP=∠ADP，求出AP=DP，求出∠BDE=∠DAE，求出DP=FP，即可得出答案；

（3）根據全等三角形的性質和判定求出AD=BF，DA=DG，即可得出答案．

解：（1）如圖1，連接CD，

∵AB是半⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEA=90°，

∴∠DBA+∠DAB=∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠DBA=∠ADE，

∵點D是弧AC的中點，

∴∠DCA=∠DBA=∠DAC，

∴∠DAP=∠ADP，

∴AP=DP；

（2）AP=PF；

理由是：∵AB是直徑，DE⊥AB，

∴∠ADB=∠DEB=90°，

∴∠ADE=∠ABD，

∵D為弧AC中點，

∴∠DAC=∠DBA，

∴∠ADE=∠DAC，

∴AP=DP，∠FDE=∠AFD，

∴DP=PF，

∴AP=PF；

（3）小李的發現是正確的，

理由是：如圖2，延長AD、BC，兩線交于G，

∵C為半圓弧的中點，D是弧AC的中點，

∴∠CBD=∠GAC，∠BCA=∠ACG=90°，AC=BC，

在△CBF和△CAG中，

，

∴△CBF≌△CAG（ASA），

∴BF=AG，

∵BC為直徑

∴∠ADB=90°，

∵D為弧AC中點，

∴∠GBD=∠ABD

在△ADB和△GDB中，

，

∴△ADB≌△GDB（ASA），

∴DG=DA=AG，

∴BF=2AD．