Question

【題目】如圖，AB、CD是⊙O的直徑，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，過點C的切線與EB的延長線交于點P，連接BC．
（1）求證：BC平分∠ABP；
（2）求證：PC2=PBPE；
（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE∥CD，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；

（2）證明如圖，連接EC、AC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠PCD=90°，

又∵BE∥DC，

∴∠P=90°，

∴∠1+∠4=90°，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠A+∠2=90°，

又∠A=∠5，

∴∠5+∠2=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠5=∠4，

∵∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCE，

∴ = ，即PC2=PBPE；

（3）解：∵BE﹣BP=PC=4，

∴BE=4+BP，

∵PC2=PBPE=PB（PB+BE），

∴42=PB（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0，

解得：PB=2，

則BE=4+PB=6，

∴PE=PB+BE=8，

作EF⊥CD于點F，

∵∠P=∠PCF=90°，

∴四邊形PCFE為矩形，

∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，

∵BE∥CD，

∴ = ，

∴DE=BC，

在Rt△DEF和Rt△BCP中，

∵ ，

∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），

∴DF=BP=2，

則CD=DF+CF=10，

∴⊙O的半徑為5．

【解析】（1）由BE∥CD知∠1=∠3，根據∠2=∠3即可得∠1=∠2；（2）連接EC、AC，由PC是⊙O的切線且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根據∠1=∠2得∠4=∠5，從而證得△PBC∽△PCE即可；（3）由PC2=PBPE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，據此得出CD的長即可．
【考點精析】利用切線的性質定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．