【題目】已知：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C=30°，∠ABC=45°，BE是AC邊上的中線．
(1)求證：AC=2BD；
(2)求∠CBE的度數；
(3)若點E到邊BC的距離為
，求BC的長．
【答案】(1)證明見解析；(2)∠CBE=15°；(3)BC=1+
．
【解析】
(1)根據直角三角形的性質得到AC=2AD，AD=BD，證明結論；
(2)連接DE，根據直角三角形的性質得到DE=EC=
AC，根據等腰三角形的性質計算即可；
(3)作EF⊥BC于F，根據直角三角形的性質求出EC，根據勾股定理計算，得到答案．
(1)證明：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AD，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∴AC=2BD；
(2)解：連接DE，
∵∠ADC=90°，BE是AC邊上的中線，
∴DE=EC=AC，
∴DE=DB，∠EDC=∠C=30°，
∴∠EBC=∠EDC=15°；
(3)作EF⊥BC于F，
則EC=2EF=1，
∴AC=2，BD=AD=1，
由勾股定理得，CD=
=，
∴BC=BD+CD=1+．
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【題目】在等邊△ABC中，D為射線BC上一點，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．
（1）如圖1，若點D在線段BC上，證明：∠BAD=∠EDC；
（2）如圖1，若點D在線段BC上，證明：①AD=DE；②BC=DC+2CF（提示：構造全等三角形）；
（3）如圖2，若點D在線段BC的延長線上，直接寫出BC、DC、CF三條線段之間的數量關系．
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【題目】在數學興趣小組活動中,小明進行數學探究活動,將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2
的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.連接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要說明理由）
(1)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，旋轉角為
（30﹤﹤180）
①連接DG,BE,求證：DG=BE且DG⊥BE；
②在旋轉過程中，如圖3，連接BG,GE,ED,DB,求出四邊形BGED面積的最大值.
(2)如圖4，分別取BG,GE,ED,DB的中點M,N,P,Q,連接MN,NP,PQ,QM,則四邊形MNPQ的形狀為 ，四邊形MNPQ面積的最大值是 ,
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【題目】在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上，點A與點C關于y軸對稱，點E是線段AC上的點（點E不與點A、C重合）
（1）若點A的坐標為（a，0），則點C的坐標為 ；
（2）如圖1，點F是線段AB上的點，若∠BEF=∠BAO，∠BAO=2∠OBE，求證：AF=CE；
（3）如圖2，若點D為AC上一點，連接ED，滿足BE=BD，試探究∠ABE與∠DEC的關系．
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【題目】甲、乙兩工程隊合作完成一項工程，需要12天完成，工程費用共36000元，若甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程，乙工程隊所用的時間是甲工程隊的1.5倍，乙工程隊每天的費用比甲工程隊少800元.
（1）問甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需多少天？
（2）若讓一個工程隊單獨完成這項工程，哪個工程隊的費用較少？
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【題目】以下是兩張不同類型火車的車票：（“D×××次”表示動車，“G×××次”表示高鐵）：
（1）根據車票中的信息填空：兩車行駛方向 ，出發時刻 （填“相同”或“不同”）；
（2）已知該動車和高鐵的平均速度分別為200km/h，300km/h，如果兩車均按車票信息準時出發，且同時到達終點，求A，B兩地之間的距離；
（3）在（2）的條件下，請求出在什么時刻兩車相距100km？
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【題目】平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的兩點， 如果添加一個條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是（ ）
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
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