Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一點，過B，C，D三點的⊙O交AB于點E，連接ED，EC，點F是線段AE上的一點，連接FD，其中∠FDE＝∠DCE．

（1）求證：DF是⊙O的切線．

（2）若D是AC的中點，∠A＝30°，BC＝4，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF=.

【解析】

（1）可證得BD是⊙O的直徑，∠BCE=∠BDE，則∠BDE+∠FDE=90°，結論得證；

（2）先求出AC長，再求DE長，在Rt△BCD中求出BD長，在Rt△BED中求出BE長，證得△FDE∽△DBE，由比例線段可求出DF長．

解：（1）∵∠ACB＝90°，點B，D在⊙O上，

∴BD是⊙O的直徑，∠BCE＝∠BDE，

∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠BDE+∠FDE＝90°，

即∠BDF＝90°，

∴DF⊥BD，

又∵BD是⊙O的直徑，

∴DF是⊙O的切線．

（2）如圖，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝2×4＝8，

∴，

∵點D是AC的中點，

∴，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠DEB＝90°，

∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，

∴，

在Rt△BCD中， ，

在Rt△BED中，，

∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，

∴∠FDE＝∠DBE，

∵∠DEF＝∠BED＝90°，

∴△FDE∽△DBE，

∴，即，

∴.