Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=，OC=，則另一直角邊BC的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：如圖所示，過O作OF⊥BC，過A作AM⊥OF，證明△AOM≌△BOF，根據全等三角形的可得AM=OF，OM=FB，再證明四邊形ACFM為矩形，根據矩形的性質可得AM=CF，AC=MF=，在等腰直角三角形△OCF中，根據勾股定理求得CF=OF=1，再求得FM=，根據BC=CF+BF即可求得BC的長.

詳解：如圖所示，過O作OF⊥BC，過A作AM⊥OF，

∵四邊形ABDE為正方形，

∴∠AOB=90°，OA=OB，

∴∠AOM+∠BOF=90°，

又∠AMO=90°，

∴∠AOM+∠OAM=90°，

∴∠BOF=∠OAM，

在△AOM和△BOF中， ，

∴△AOM≌△BOF（AAS），

∴AM=OF，OM=FB，

又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，

∴四邊形ACFM為矩形，

∴AM=CF，AC=MF=，

∴OF=CF，

∴△OCF為等腰直角三角形，

∵OC=，

∴根據勾股定理得：CF2+OF2=OC2，

解得：CF=OF=1，

∴FB=OM=OF-FM=1-=，

則BC=CF+BF=．

故答案為： .