Question

【題目】如圖， 為⊙的直徑，點在⊙上，連接、，過點的切線與的延長線交于點， ，交于點，交于點．

（）求證： ．

（）若⊙的半徑為， ，求的長．

Answer 1

【答案】（）見解析　（）．

【解析】（1）連接OB．由切線的性質先證明∠OBE=∠EFB+∠CBO=90°，再由圓周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，故∠EBF=∠OBD，根據等腰三角形的性質可知∠OBD=∠CDB，故∠EBF=∠CDB，進而可得結論；

（2）由（1）可知∽∠OBE=90°，∠E=∠C，在Rt△BOE中，利用銳角三角函數的定義即可得出結論．

證明：（）∵，∴， （兩直線平行，內錯角相等，同位角相等）．

連接，

∵過點的切線與的延長線交于點，

∴OB⊥AE，

∴∠OBE=∠EFB+∠CBO=90°，

為⊙的直徑，

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，

∴∠EBF=∠OBD，

∵OB、OD是⊙O的半徑，

∴OB=OD，

∴∠OBD=∠CDB，

∴∠EBF=∠CDB，

∵，

∴∠EFB=∠CBD，

∴∽．

（）由1）可知∽

∴∠OBE=90°，

∴∠E=∠C，

∵∠C=30°，

∴∠E=∠C=30°，

∵⊙O的半徑為3，

在Rt△BOE中，∠OBE=90°，∠E =30°，OB=3，

∴，即，

∴的長為．