Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，F是AD的中點，E是CD上一點，∠FBE＝45°，則tan∠FEB的值是_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

根據正方形的性質得BA＝BC，∠ABC＝90°，則可把△BAE繞點B順時針旋轉90°得到△BCG，如圖，根據旋轉的性質得∠BCG＝∠BAF＝90°，∠FBG＝∠ABC＝90°，AF＝CG，所以點G、C、F共線，再利用“SAS”證明△BFE≌△BGE，得到∠FEB＝∠GEB，設正方形的邊長為2a，CE＝x，則AF＝DF＝a，CG＝AF＝a，DF＝2a﹣x，EF＝EG＝x+a，在Rt△DEF中，利用勾股定理得到a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，解得x＝a，然后在Rt△BCF中，根據正切的定義得tan∠BEC＝＝3，即tan∠FEB的值為3．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，

把△BAF繞點B順時針旋轉90°得到△BCG，如圖，

∴∠BCG＝∠BAF＝90°，∠FBG＝∠ABC＝90°，AF＝CG，

∴點G、C、E共線，

∵∠EBF＝45°，

∴∠GBE＝45°，BG＝BF，

在△BEF和△BGE中，

，

∴△BEF≌△BGE（SAS），

∴∠FEB＝∠GEB，

設正方形的邊長為2a，CE＝x，則AF＝DF＝a，CG＝AF＝a，DF＝2a﹣x，EF＝EG＝x+a，

在Rt△DEF中，∵DF2+DE2＝EF2，

∴a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，

解得x＝a，

在Rt△BCE中，

tan∠CEB＝，

∴tan∠FEB＝3．

故答案為3．