Question

【題目】已知：直線l：y=2kx-4k+3（k≠0）恒過某一定點P．
（1）求該定點P的坐標；
（2）已知點A、B坐標分別為（0，1）、（2，1），若直線l與線段AB相交，求k的取值范圍；
（3）在0≤x≤2范圍內，任取3個自變量x1，x2、x3，它們對應的函數值分別為y1、y2、y3，若以y1、y2、y3為長度的3條線段能圍成三角形，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，3）；（2）k≥；（3）-＜k＜0或0＜k＜．

【解析】

（1）對題目中的函數解析式進行變形即可求得點P的坐標；
（2）根據題意可以得到相應的不等式組，從而可以求得k的取值范圍；
（3）根據題意和三角形三邊的關系，利用分類討論的數學思想可以求得k的取值范圍．

（1）∵y=2kx-4k+3=2k（x-2）+3，
∴y=2kx-4k+3（k≠0）恒過某一定點P的坐標為（2，3），
即點P的坐標為（2，3）；
（2）∵點A、B坐標分別為（0，1）、（2，1），直線l與線段AB相交，直線l：y=2kx-4k+3（k≠0）恒過某一定點P（2，3），
∴，

解得，k≥.

（3）當k＞0時，直線y=2kx-4k+3中，y隨x的增大而增大，
∴當0≤x≤2時，-4k+3≤y≤3，
∵以y1、y2、y3為長度的3條線段能圍成三角形，
∴，

得k＜，
∴0＜k＜；
當k＜0時，直線y=2kx-4k+3中，y隨x的增大而減小，
∴當0≤x≤2時，3≤y≤-4k+3，
∵以y1、y2、y3為長度的3條線段能圍成三角形，
∴3+3＞-4k+3，得k＞-，
∴-＜k＜0，
由上可得，-＜k＜0或0＜k＜．