Question

【題目】如圖，分別以△ABC的邊AB，AC向外作等邊△ABD和等邊△ACE，線段BE與CD相交于點O，連接OA．

（1）請你完成圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求證：BE=DC；

（3）求證：OA平分∠DOE．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】試題分析：（1）先分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點D，連接AD、BC；再分別以點A、C為圓心，以AC為半徑畫弧，交于點E，連接AE、CE即可．

（2）根據等邊三角形性質得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根據SAS證△ABE≌△ADC即可．

（3）過點A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點M，N．根據三角形的面積公式求出AN=AM，根據角平分線性質求出即可．

試題解析：（1）完成圖形，如圖所示：

(2)證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，

∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，

即∠BAE=∠DAC，

在△ABE和△ADC中，

∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，AE＝AC，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC．

（3）證明：過點A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點M，N．

∵由（1）知：△ABE≌△ADC，

∴BE=DC，S△ABE=S△ADC，

∴BEAM＝DCAN，

∴AM=AN，

∵AM⊥BE，AN⊥DC，

∴點A在∠DOE的平分線上，

即OA平分∠DOE．