Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD與BC相交于點M，且BM=MC，過點D作BC的平行線，分別與AB、AC的延長線相交于點E、F；

（1）求證：EF與⊙O相切；

（2）若BC=2，MD=，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）根據垂徑定理證得AD⊥BC，然后根據平行線的性質證得AD⊥EF，即可證得結論；

（2）連接OB，根據勾股定理求得OB和OM，由BC∥EF，證得△ABC∽△AEF，根據相似三角形的性質求得EF的長，解直角三角形ACM求得∠CAM=30°，進而求得CN的長和∠FCN=∠CAM=30°，解直角三角形求得NF，得出EN，然后根據勾股定理即可求得．

試題解析：（1）∵AD是⊙O的直徑，AD與BC相交于點M，且BM=MC，

∴AD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF，

∴EF與⊙O相切；

（2）連接OB，

在△OBM中，BM2+OM2=OB，即（）+（OB﹣）=OB2，OB=2

∴OM=MD=，

∵BC∥EF，

∴△ABC∽△AEF

∴，

∴EF=，

∵tan∠CAM=，

∴∠CAM=30°，

作CN⊥EF，

∵AD⊥EF，

∴CN∥AD，

∴∠FCN=∠CAM=30°，

∵BC∥EF，

∴四邊形MDNC是矩形，

∴CN=MD=，

∴NF=CNtan30°=×=，

∴EN=EF﹣NF=﹣=，

∴EC==．