Question

【題目】如圖，在的邊上取一點，以為圓心，為半徑畫⊙O，⊙O與邊相切于點，，連接交⊙O于點，連接，并延長交線段于點．

（1）求證：是⊙O的切線；

（2）若，，求⊙O的半徑；

（3）若是的中點，試探究與的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3），理由見解析

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質可得∠ADO=90°，由“SSS”可證△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得結論；
（2）由銳角三角函數可設AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；
（3）連接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形內角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可證DE=DF=CE，可得結論．

解：（1）如圖，連接OD，

∵⊙O與邊AB相切于點D，
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，
∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OC是半徑，
∴AC是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中，tanB==，
∴設AC=4x，BC=3x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴16x2+9x2=100，
∴x=2，
∴BC=6，
∵AC=AD=8，AB=10，
∴BD=2，
∵OB2=OD2+BD2，
∴（6-OC）2=OC2+4，
∴OC=，
故⊙O的半徑為；
（3）連接OD，DE，

由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，
又∵CO=DO，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE=∠ODE，
∵OC=OE=OD，
∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，
∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，
∵點F是AB中點，∠ACB=90°，
∴CF=BF=AF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=CE，
∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．