Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E在邊AC上，CE＝BD，連接CD，BE，BE與CD相交于點F．

（1）如圖1，若△ACD為等邊三角形，且CE＝DF，求∠CEF的度數；

（2）如圖2，若AC＝AD，求證：EF＝FB；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠CFE＝45°，△BCD的面積為4，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）證明見解析；（3）4.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到ADC=∠C=60°，根據三角形的外角的性質計算；

（2）作BG∥AC交CD的延長線于G，證明△CFE≌△GFB，根據全等三角形的性質證明；

（3）作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延長線于H，設EP=x，GH=a，根據全等三角形的性質得到BH=EP=x，根據三角形的面積公式計算．

（1）∵CE＝BD，CE＝DF，

∴BD＝DF，

∴∠DFB＝∠B，

∵△ACD為等邊三角形，

∴∠ADC＝∠C＝60°，

∴∠DFB＝∠B＝30°，

∴∠CEF＝90°；

（2）證明：作BG∥AC交CD的延長線于G，

∴∠C＝∠G，

∵AC＝AD，

∴∠C＝∠ADC，

∴∠BDG＝∠G，

∴BD＝BG，

∵CE＝BD，

∴BD＝CE，

∵BG∥AC，

在△CFE和△GFB中，

，

∴△CFE≌△GFB，

∴EF＝FB；

（3）解：作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延長線于H，

設EP＝x，GH＝a，

∵∠CFE＝45°，

∴FP＝EP＝x，

∵△CFE≌△GFB，

∴BH＝EP＝x，

則FH＝BH＝x，

∵BD＝BG，BH⊥CD，

∴DH＝GH＝a，

∴CF＝FG＝x+a，DF＝x﹣a，

∴CD＝CF+DF＝2x，

由題意得，

×CD×BH＝4，即×2x×x＝4，

解得，x＝2，

則CD＝2x＝4．