Question

已知關于x的方程x²-（k+1）x+k=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實根．
（2）若等腰△ABC的一腰長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩根，求△ABC的周長．

Answer 1

解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4k=k²+2k+1-4k=（k-1）²≥0，
∴無論k取什么實數值，這個方程總有實根；

（2）∵等腰△ABC的一邊長a=4，
∴另兩邊b、c中必有一個數為4，
把4代入關于x的方程x²-（k+1）x+k=0中得，
∴16-4（k+1）+k=0，
解得：k=4，
所以b+c=k+1=5
∴△ABC的周長=4+5=9．
分析：（1）先把方程化為一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要證明無論k取任何實數，方程總有兩個實數根，即要證明△≥0；
（2）若a=4為腰，則b，c中必有一個數為4，把4代入關于x的方程x²-（k+1）x+k=0中得到k的值，求出三角形的周長．
點評：此題主要考查了根的判別式，以及一元二次方程的解法，關鍵是正確確定b，c的值．