Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點M，MN⊥AC于點N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OM．

∵OM=OB，

∴∠B=∠OMB．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴∠OMB=∠C．

∴OM∥AC．

∵MN⊥AC，

∴OM⊥MN．

∵點M在⊙O上，

∴MN是⊙O的切線

（2）解：連接AM．

∵AB為直徑，點M在⊙O上，

∴∠AMB=90°．

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°．

∴∠AOM=60°．

又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于點N，

∴∠AMN=30°．

∴AN=AMsin∠AMN=ACsin30°sin30°= ．

∴MN=AMcos∠AMN=ACsin30°cos30°= ．

∴S梯形ANMO= ，

S扇形OAM= ，

∴S陰影= = ﹣ ．

【解析】（1）有切點，需連半徑，證明垂直，即可；（2）求陰影部分的面積要把它轉化成S梯形ANMO﹣S扇形OAM ， 再分別求的這兩部分的面積求解．
【考點精析】掌握切線的判定定理和扇形面積計算公式是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．