Question

【題目】在中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，將繞點A順時針旋轉一定的角度α得到，點B、C的對應點分別是E、D．

（1）如圖1，當點E恰好在AC上時，求∠CDE的度數；

（2）如圖2，若α=60°時，點F是邊AC中點，求證：DF=BE；

（3）如圖3，點B、C的坐標分別是(0,0)，(0,2)，點Q是線段AC上的一個動點，點M是線段AO上的一個動點，是否存在這樣的點Q、M使得為等腰三角形且為直角三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）證明見解析；（3）M(,0)或(,0)

【解析】

（1）由旋轉的性質得出，，利用等腰三角形的性質求出，進而得解；

（2）通過證明與是等邊三角形，，進而得證；

（3）分兩種情況考慮：①當時，要使得△CQM為等腰三角形，則，②當時，要使得△CQM為等腰三角形，則，分別求解即可．

解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∵將繞點A順時針旋轉一定的角度α得到，且點E恰好在AC上，

∴，，，

∴，

∴；

（2）由題意知，，，，

∴是等邊三角形，

∴，

∵點F是的邊AC的中點，

∴，

∵∠BAC=30°，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

在與中，，

∴，

∴，

∴；

（3）分兩種情況考慮：

∵，，

∴，由勾股定理知，，

設點，

①當時，要使得△CQM為等腰三角形，則，

∴，，

∴由勾股定理知，，即，

解得，（負值舍去），，

∴，

∴，

解得，，

∴；

②當時，要使得△CQM為等腰三角形，則，

∴，由勾股定理知，，，

∴，

解得，，

∴，

綜上所述，存在，點或．